O przekrojach Dedekinda

Za R uznajmy system liczby wymierny, który - jak wiemy - charakteryzuje się zupełnością i zamkniętością, czyli że cztery podstawowe operacje (dodawanie, odejmowanie i mnożenie, dzielenie) są zawsze wykonalne na dowolnych dwu indywiduach z tego zbioru (wyjątek stanowi dzielenie przez 0). Nas jednak interesuje fakt, że R jest dziedziną uporządkowaną, jednowymiarową i nieskończoną w obu kierunkach. Zachodzą w niej następujące prawa:

Ia. Jeżeli a > b i b > c to a > c. Mówimy wtedy, że b leży pomiędzy a i c.

IIa. Istnieje nieskończenie wiele różnych liczb b leżących między a i c.

IIIa. Dla określonego a wszystkie liczby systemu R rozpadają się na dwie klasy: A1 i A2, z których każda zawiera nieskończenie wiele elementów. Klasa A1zawiera wszystkie a1 takie, że a1 < a; natomiast A2 takie, że a2 > a. Liczbę a można zaliczyć do dowolnej z tych klas. Rozkład systemu R naA1 i A2 jest taki, że każda liczba A1 jest mniejsza od każdej liczby A2.

Powyższe własności są bardzo podobne do związków położenia indywiduów na prostej L. Nazwijmy dwa istniejące kierunki odpowiednio „lewym” i „prawym”. Jeśli teraz p i q będą różnymi punktami prostej L, to albo p będzie leżało na prawo od q i jednocześnie q na lewo od p, albo q będzie leżało na prawo od p i jednocześnie p na lewo od q. Ta różność położeń pozwala nam zapisać następujące prawa:

Ib. Jeżeli p leży na prawo od q, a q na prawo od r, to również p leży na prawo od r. Mówimy wtedy, żeq leży pomiędzy p i r.

IIb. Istnieje nieskończenie wiele punktów q, które leżą między p i r.

IIIb. Dla określonego punktu p wszystkie punkty prostej L rozpadają się na dwie klasy: P1 i P2, z których każda zawiera nieskończenie wiele elementów. Klasa P1zawiera wszystkie p1 leżące na lewo odp, natomiast P2 - p2 leżące na prawo od p. Punkt p można zaliczyć do dowolnej z tych klas. Rozkład prostej L na P1 i P2 jest taki, że każdy punkt klasy P1 jest mniejsza od każdego punktu P2.

Analogię między liczbami wymiernymi a punktami prostej można uznać za rzeczywisty związek, jeśli zostanie wprowadzony punkt początkowy (zerowy) o i pewna jednostka do mierzenia odcinków. Jednostka ta pozwoli nam skonstruować dla każdej liczby a odpowiadającą jej długość; w zależności od tego, czy jest to liczba dodatnia, czy ujemna punkt odpowiadający jej będzie leżał odpowiednio po prawej lub lewej stronie o, ponieważ liczbie wymiernej 0 przyporządkowujemy właśnie punkt o. W ten sposób każdej liczbie wymiernej z R odpowiada dokładnie jeden punkt na prostej L. Jak łatwo zauważyć, prawom I-IIIa odpowiadają prawa I-IIIb.

Powszechnie znany jest fakt, że na prostej L znajduje się nieskończenie wiele punktów, które nie odpowiadają żadnej liczbie niewymiernej. Wszakże dla każdego punktu p odpowiadającemu liczbie wymiernej a istnieje długość op współmierna z użytą do konstrukcji miarą długości. Innymi słowy istnieje trzecia długość, tzw. wspólna miara, której całkowitymi wielokrotnościami są obie te długości. Pamiętamy wszakże, że już starożytni Grecy dowiedli, iż istnieją długości, które ze względu na daną, ustaloną jednostkę długości są niewspółmierne. Dobrym przykładem jest przekątna kwadratu, którego bok ma długość jednostkową. Po odłożeniu takiej długości na prostej otrzymamy punkt, który nie odpowiada żadnej liczbie wymiernej. Łatwo wykazać, że takich punktów jest nieskończenie wiele. Chcąc więc ulepszyć system R tak, by należącym do niego liczbom przysługiwała ciągłość posiadana przez prostą L, należy stworzyć nowe liczby. Istotę tej ciągłości można sprowadzić do następującej zasady:

Jeżeli wszystkie punkty prostej rozpadają się na dwie klasy tego typu, że każdy punkt pierwszej klasy leży na lewo od każdego punktu drugiej, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który tworzy ten podział wszystkich punktów na dwie klasy, czyli rozcięcie prostej.

Z prawa IIIa wiemy, że każda liczba wymierna a wyznacza pewien podział systemu R na dwie klasy A1i A2 takie, że każda liczba a1 klasy A1 jest mniejsza od każdej liczby a2 klasy A2; liczba a jest albo najmniejszą liczbą klasy A1, albo największą liczbą klasy A2. Taki podział systemu R, posiadający wspomniane powyżej własności będziemy nazywać przekrojem i oznaczać (A1, A2). Możemy więc powiedzieć, że każda liczba wymierna a wyznacza pewien przekrój, taki że albo w pierwszej jego klasie istnieje największa liczba, albo w drugiej najmniejsza liczba. I odwrotnie - jeśli jakiś przekrój posiada tę własność, to jest on wyznaczony przez tę największą lub najmniejszą liczbę wymierną.

Łatwo jest zauważyć, że istnieje nieskończenie wiele przekrojów, które nie są wyznaczone prze liczby wymierne. Niech, na przykład, D będzie liczbą całkowitą dodatnią, ale niech nie będzie kwadratem żadnej liczby całkowitej. Wtedy istnieje liczba całkowita dodatnia l taka, że

l2 < D < (l + 1)2.

Do drugiej klasy A2 zaliczymy wszystkie liczby wymierne dodatnie a2, których kwadrat jest większy odD; natomiast do pierwszej klasy A1 – pozostałe liczby wymierne a1. Podział ten oczywiście tworzy przekrój (A1, A2) – jeżeli zachodziłoby a1 = 0 lub a1 < 0, to oczywiście a1 byłoby mniejsze od dodatniego z definicji a2; jeśli zaś zachodziłoby a1 > 0, to i tak a1 do kwadratu byłoby mniejsze od D, a w konsekwencji mniejsze od a2, której kwadrat jest większy od D. Jednakże przekrój ten nie jest wyznaczony przez żadną liczbę wymierną. Aby to wykazać, wystarczy uzasadnić fakt, iż nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat równy byłby D. Ten znany dowód prowadzamy niewprost. Załóżmy, że istnieje taka liczba wymierna, której kwadrat równy jest D. Wtedy istniałyby liczby całkowite t i u taki, że

t2Du2 = 0

i jednocześnie u możnaby uznać za najmniejszą taką. Oczywiście

lu < t < (l + 1) u,

więc

u’ = t lu

jest liczbą całkowitą dodatnią i mniejszą niż u. Jeżeli weźmiemy dalej

t’ = Du lt, to t’

też będzie liczbą całkowitą dodatnią i

t2Du2 = (l2D) (t2Du2) = 0,

co przeczy wyborowi u jako najmniejszej liczby o wspomnianej własności.

Wiemy więc, że kwadrat dowolnej liczby wymiernej x jest albo mniejszy od D, albo większy od D, a stąd wynika, że ani w klasie A1 nie ma liczby największej, ani w klasie A2 najmniejszej. Jeśli bowiem położyć

to

oraz

.

Jeżeli za x wziąć tu liczbę dodatnią z klasy A1, to x2 < D i w konsekwencji y > x i y2 < D, a zatem yrównież należy do A1. Jeśli zaś jako x przyjąć liczbę z klasy A2, to x2 > D i w konsekwencji y < x, y > 0 i
y2 > D, czyli y też należy do A2. Jak widać nasz przekrój nie jest wyznaczony przez żadną liczbę wymierną. I właśnie na fakcie, że nie wszystkie przekroje są wyznaczone przez liczby wymierne polega nieciągłość dziedziny R wszystkich liczb wymiernych. Za każdym więc razem, gdy dany mamy przekrój (A1, A2), który nie jest wyznaczony przez żadną liczbę wymierną, stwarzamy nową liczbę niewymiernąa, którą traktować będziemy jako całkowicie wyznaczoną przez ten przekrój (A1, A2). Będziemy więc mówić, że liczba a odpowiada temu przekrojowi lub że wyznacza ten przekrój. Teraz każdemu przekrojowi odpowiada dokładnie jedna określona liczba wymierna i niewymierna i dwie liczby traktujemy jako różne zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadają one istotnie różnym przekrojom.

Chcąc ustalić podstawy uporządkowania liczb wymiernych i niewymiernych, musimy zbadać związki między przekrojami (A1, A2) i (B1, B2), wyznaczonymi przez dwie dowolne liczby a i b. Przekrój (A1, A2) jest określony, jeśli znamy jedną z dwu klas, na przykład A1, gdyż wtedy A2 składa się ze wszystkich liczb wymiernych nie należących do A1. Jeżeli porównać ze sobą klasy A1 i B1, to może się okazać, że są one całkowicie identyczne, tzn. że każda liczba a1 należąca do A1 należy także do B1 i odwrotnie – każda liczba b1 należąca do B1 należy także do A1. W takim przypadku również A2 i B2 są identyczne i oba przekroje są identyczne, co wyrażamy pisząca a = b.

Może się jednak zdarzyć, że A1 i B1 nie są identyczne, a wtedy w jednej z nich – dla ustalenia uwagi wA1 – istnieje pewna liczba a1 = b2, która nie należy do B1 i która w związku z tym należy do B2. Stąd wszystkie liczby b1 należące do B1 są mniejsze od liczby a1 = b2 i zatem wszystkie liczby b1 należą też do A1. Jeśli teraz liczba a1 jest jedyna taka, że nie należy do B1, to każda inna liczba a1 należąca doA1 należy też do B1 i w konsekwencji jest mniejsza niż a1, tzn. a1 jest największą wśród wszystkich liczb a1, zatem przekrój (A1, A2) jest wyznaczony prze liczbę wymierną a = a1 = b2. O przekroju (B1,B2) wiemy, że wszystkie liczby b1 z B1należą także do A1 i są mniejsze od a1 = b2, która należy do B2. Jednakże każda inna b2 z B2musi być większa od b2, bo inaczej byłaby mniejsza niż a1, a więc należałaby do A1 i w konsekwencji także do B1. Stąd wiemy, że b2 jest najmniejszą z wszystkich liczb należących do B2 i przekrój (B1, B2) jest wyznaczony przez tę liczbę wymierną b = b2 = a1 = a. Oba przekroje nie są więc istotnie różne.

Jeśli jednak w A1 istnieją co najmniej dwie liczby a1 = b2 i a’’1 = b’’2, które nie należą do B1, to istnieje nieskończenie wiele takich liczb, ponieważ każda spośród nieskończenie wielu liczb leżących pomiędzy a1 i a’’1 (z IIa) należy do A1, ale nie do B1. W tym przypadku a i b odpowiadają dwóm istotnie różnym przekrojom (A1, A2) i (B1, B2), a wtedy nazywamy je różnymi i mówimy, że a jest większa od b, co zapisujemy a > b. Jak widać pokrywa się to z sytuacją, kiedy a i b są liczbami wymiernymi.

Możliwe jest jeszcze, że w B1 istnieje jedna i tylko jedna b1 = a2, która nie należy do A1; wtedy oba przekroje są nieistotnie różne i wyznacza je ta sama liczba wymierna a = a2 = b1 = b. Jeśli zaś w B1istnieją co najmniej dwie liczby różne, które nie należą do A1, to b > a.

Powyżej wyczerpaliśmy wszystkie możliwości, wiemy więc, że z dwóch różnych liczb jedna musi być większa, a druga mniejsza. Trzeciej możliwości nie ma.

W przypadku a > b jeżeli mniejsza z tych liczb jest wymierna, to z pewnością należy do A1 (ponieważ w A1 istnieje a1 = b2 należąca do B2, więc b – niezależnie od tego, czy jest największa w B1, czy najmniejsza w B2 – jest na pewno mniejsza równa a1 czyli należy do A1). Podobnie z przypadku a > bwynika, że jeśli
a jest wymierna, to należy do B2. Łącząc te dwa rozumowania dochodzimy do wniosku, że jeżeli przekrój (A1, A2) jest wyznaczony przez liczbę a, to wtedy jakaś liczba wymierna należy albo do klasyA1, albo do klasy A2, zależnie od tego, czy jest mniejsza czy większa do a. Jeśli a jest wymierna, to może należeć do dowolnej z tych klas. Stąd wniosek, że jeśli a > b, to istnieje nieskończenie wiele liczb jednocześnie różnych od a i od b. Każda taka liczba wymierna c jest mniejsza od a (bo należy do A1) i większa od b (bo należy do B2).

Z wszystkich powyższych rozważań wynika, że system R wszystkich liczb rzeczywistych tworzy dziedzinę uporządkowaną jednowymiarową, czyli że spełnia następujące prawa:

Ic. Jeżeli a > b i b > g, to także a > g; mówimy że liczba b leży pomiędzy a i g.

IIc. Jeżeli a i g są różne, to zawsze istnieje nieskończenie wiele liczb b, które leżą pomiędzy a i g.

IIIc. Jeżeli a jest określoną liczbą, to wszystkie liczby systemu R rozpadają się na dwie klasy a1 i a2, z których każda zawiera nieskończenie wiele elementów. Pierwsza zawiera wszystkie a1, które są mniejsze od a, a druga wszystkie a2, które są większe od a; a może należeć do dowolnej z tych klas. Ten rozkład jest taki, że każda liczba klasy a1 jest mniejsza od każdej liczby klasy a2. Podział ten jest wyznaczony przez a.

Ponadto dziedzina R posiada również własność ciągłości, czyli:

Ivc. Jeżeli system R wszystkich liczb rzeczywistych rozpada się na dwie klasy a1 i a2 tego rodzaju, że każda liczba a1 klasy a1 jest mniejsza od każdej liczby a2 klasy a2, to istnieje dokładnie jedna liczba a, która jest wyznaczona przez ten rozkład.

Chcąc dowieść ten fakt wystarczy zauważyć, że podział R na a1 i a2 daje jednocześnie przekrój (A1,A2) systemu R wszystkich liczb wymiernych. Określamy do następująco: A1 zawiera wszystkie liczby wymierne klasy a1, a A2 analogicznie liczby klasy a2. Niech a – określona liczba wyznaczająca przekrój (A1, A2). Jeśli b jest różne od a, to istnieje nieskończenie wiele liczby wymiernych c leżących między a ib. Jeżeli a > b, to a > c, więc c należy do A1, a – co za tym idzie – do a1. Ponieważ jednocześnie b <c, więc b także należy do a1, gdyż każda liczba z a2 jest większa od każdej c z a1. Jeśli jednak a < b, to a < c, czyli c należy do A2 i do a2, a ponieważ c < b, to także b należy do a2 (bo każda liczba z a1jest mniejsza od każdej liczby z a2). A zatem każda b różna od a należy albo do klasy a1, albo do klasya2, zależnie od tego, czy a > b, czy a < b. Tak więc a albo jest największą liczbą klasy a1, albo najmniejszą klasy a2, tj. a jest jedyną liczbą, która wyznacza rozkład R na dwie klasy a1 i a2, czego chcieliśmy dowieść.

więcej...